Die musst du zunächst komplett herunternehmen (Federmesser), dann alles Silikon entfernen (Messer / Ceranfeldschaber), danach musst Du sie mit Aquarien-Silikon (oder solchem, das für den direkten Einsatz im Lebensmittelbereich zugelassen ist) neu kleben. Dabei wirst Du das Becken auf die Seite legen müssen. Bevor Du das tust, nimm etwas Kreppband und klebe es so fest, dass Du weißt, wo die Leiste wieder hinmuss (das kannst Du Dir so auch vor dem Abschneiden schon markieren). Kleine in Plastik gewickelte Gegenstände helfen, dass die Leiste stehen bleibt. Trocknungszeit des Silikons (Herstellerangabe) beachten. Sonst wüßte ich nicht, wie man das Problem lösen könnte. Viel Erfolg!

Aquariensilikon wäre auch mein Tipp gewesen. Eventuell gibt's auch Montagekleber, der für Glas geeignet ist? Da kenn ich mich aber nicht aus. Bei letzterem wäre halt wichtig, dass die Mäuse nicht an die Stelle drankommen und dran nagen können.

Mir würde dazu nur einfallen, das Glas zu entfernen und stattdessen eine Winkelleiste aus Metall zu verwenden, die Du mit Silikon anklebst.
Es gibt da günstige Leisten (Kantenschutz für Trockenbau, zweckentfremdet) oder andere Leisten.
Oder Du klebst das Glas wieder an und unterstützt es senkrecht mit Winkelleisten, die an die Wand geklebt werden.

Es ist eigentlich kein Kleber, sondern eine Dichtungsmasse. Aquariumsilikon aus dem Baumarkt.
Damit funktioniert es aber nur, wenn die Silikonschicht extrem dünn ist. Das erreicht man aber nur, wenn man die gereinigte und entfettete Glasleiste über die gesamte Länge mit mehreren Klemmen an die Scheibe presst, bis das Silikon getrocknet ist.

Alternativ dazu einfach statt dem Glas eine Alu-Leiste mit L-Profil 10x10x1mm in entsprechender Höhe ankleben.